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已知兩定點E(-2,0),F(2,0),動點P滿足，由點P向x軸作垂線段PQ，垂足為Q，點M滿足，點M的軌跡為C.

（1）求曲線C的方程

（2）過點D（0，－2）作直線與曲線C交于A、B兩點，點N滿足

（O為原點），求四邊形OANB面積的最大值，并求此時的直線的方程.

 

【答案】

(1) (2) 直線的方程為

【解析】

試題分析：解（1）動點P滿足,點P的軌跡是以E F為直徑的圓，動點P的軌跡方程為.設M(x,y)是曲線C上任一點，因為PMx軸，，點P的坐標為（x，2y）, 點P在圓上，  ，

曲線C的方程是 .

（2）因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

當直線的斜率不存在時顯然不符合題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為y=kx-2，與橢圓交于兩點，由得

，由，得，即

     10分

令

，，解得,滿足,

，（當且僅當時“=”成立），

當平行四邊形OANB面積的最大值為2.

所求直線的方程為

考點：圓錐曲線方程的求解和運用

點評：主要是考查了運用代數的方法來通過向量的數量積的公式，以及聯立方程組，結合韋達定理來求解，屬于中檔題。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩定點F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)，滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．
（Ⅰ）求k的取值范圍；
（Ⅱ）如果|AB|=6
3
且曲線E上存在點C，使
OA
=
OB
=m
OC
求m的值和△ABC的面積S．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩定點E(-
2
，0)，F(
2
，0)，動點P滿足
PE
•
PF
=0，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足
PM
=(
2
-1)
MQ
，點M的軌跡為C．
（I）求曲線C的方程；
（II）若線段AB是曲線C的一條動弦，且|AB|=2，求坐標原點O到動弦AB距離的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知兩定點E（-
2
，0），F（
2
，0），動點P滿足
PE
•
PF
=0，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足
PQ
=
2
MQ
，點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l交曲線C于A、B兩點，且坐標原點O到直線l的距離為
2
2
，求|AB|的最大值及對應的直線l的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•江西模擬）已知兩定點F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)，滿足條件|
PF
2|-|
PF
1|=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點．如果|
AB
|=6
3
，且曲線E上存在點C，使
OA
+
OB
=m
OC
．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）求AB的直線方程；
（Ⅲ）求m的值．

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