Question

設實數x，y，z滿足x+y+2z=6，求x²+y²+z²的最小值，并求此時x，y，z的值．

Answer 1

分析：利用題中條件：“x+y+2z=6”構造柯西不等式：（x²+y²+z²）（1²+1²+2²）≥（x+y+2z）²=36這個條件進行計算即可．

解答：解：∵（x²+y²+z²）（1²+1²+2²）≥（x+y+2z）²=36，…（5分）
∴（x²+y²+z²）≥6，當且僅當x=y=

z

2

時取等號，…（8分）
∵x+y+2z=6，∴x=1，y=1，z=2．
∴x²+y²+z²的最小值為6，此時x=1，y=1，z=2．…（10分）

點評：本題考查用綜合法證明不等式，關鍵是利用：（x²+y²+z²）（1²+1²+2²）≥（x+y+2z）²=36．