Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1
（Ⅰ）求k的值和S_n的表達式；
（Ⅱ）是否存在正整數m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立？若存在，則求出這樣的正整數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由題設條件S_n+1=kS_n+2（n∈N^*），且a₁=2，a₂=1，利用S₂=kS₁+2，建立方程求出k，再利用a_n=S_n-S_n-1，研究數列的性質，根據數列的性質得出S_n的表達式；
（II）假設存在正整數m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立，由不等式進行等價轉化，得出正整數m，n滿足的條件，若能解出正整數m，n的值，則說明假設成立，否則說明不存在正整數m，n，使

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

成立．

解答：解：（I）∵S₂=kS₁+2，∴a₁+a₂=ka₁+2又a₁=2，a₂=1，2+1=2k+2，∴k=

1

2

…（2分）
∴Sn+1=

1

2

Sn+2①當n≥2時，Sn=

1

2

Sn-1+2②①-②，得an+1=

1

2

an(n≥2)
又a2=

1

2

a1，由a₁=2≠0可得a_n≠0（n∈N^*），∴

an+1

an

=

1

2

  (n∈N*)
于是{a_n}是等比數列，其首項為a₁=2，公比為

1

2

，所以Sn=

2•[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4(1-

1

2n

)…（6分）
（II）不等式

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

，即

4(1- 1 2n )-m

4(1- 1 2n+1 )-m

＜

1

2

．，整理得

2n(4-m)-4

2n(4-m)-2

＜

1

2

，
令t=2ⁿ（4-m），則不等式變為

t-4

t-2

＜

1

2

，解之得2＜t＜6即2＜2ⁿ（4-m）＜6…（8分）
假設存在正整數m，n使得上面的不等式成立，由于2ⁿ為偶數，4-m為整數，
則只能是2ⁿ（4-m）=4∴

2n=2 4-m=2

或

2n=4 4-m=1

因此，存在正整數m=2， n=1； 或 m=3， n=2， 使 

Sn-m

Sn+1-m

＜

1

2

．…（12分）

點評：本題考查數列與不等式的綜合，解題的關鍵是充分利用題設中的恒等式進行變換，解得數列的性質，求出數列的和的表達式，本題第二小問是一個存在性問題的探究，此類題一般是假設所研究的結論成立，由此尋求其等價條件，得出參數所滿足的不等式或者方程，由此方程或者不等式求解參數的可能值，若能求出符合條件的值，則說明存在這樣的參數使得結論成立