Question

已知函f（x）=x³+ax²+bx+5，若x=

2

3

，y=f（x） 有極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．
（3）函數(shù)y=f（x）-m有三個零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對其進行求導，根據(jù)題意曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為3，可得f′（1）=3，若x=

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3

，y=f（x） 有極值可f′（

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）=0，由此可以求出f（x）的解析式；
（2）對f（x）進行求導，解出其極值點，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，從而也可以利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題；
（3）函數(shù)y=f（x）-m有三個零點，可以轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m交于3點，利用數(shù)形結合的方法進行求解，求出m的取值范圍；

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，…（1分）
由題意，得

f′( 2 3 )=3×( 2 3 )2+2a× 2 3 +b=0 f′(1)=3×12+2a×1+b=3

，解得

a=2 b=-4

；
所以，f（x）=x³+2x²-4x+5，…（4分）
（2）由（1）知f（x）=3x³+4x-4=（x+2）（3x-2），
令f′（x）=0，得x₁=-2，x₂=

2

3

；           …（5分）

x	-4	（-4，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1）	1
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）		↗	極大值	↘	極小值	↗
函數(shù)值	-11		13		95 27		4

…（8分）
∴f（x）在[-4，-1]上的最大值為13，最小值為-11．…（9分）
（3）∵函數(shù)y=f（x）-m有三個零點，即f（x）=m，有三個交點，
可得f（x）的圖象：如下圖：

由上圖y=m與函數(shù)f（x）有三個交點，
∴4＜m＜13，-11＜m＜

95

27

，此時y=m與f（x）交于三點；
∴4＜m＜13 或-11＜m＜

95

27

；

點評：此題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值問題，難度比較大，利用數(shù)形結合的方法進行求解會比較簡單，這也是高考的熱點問題，是一道難題；