Question

如圖，在直角坐標系中，O為坐標原點，直線AB⊥x軸與點C，|

OC

|=4，

CD

=3

DO

，動點M到直線AB的距離是它到點D的距離的2倍．
（I）求點M的軌跡方程
（II）設點K為點M的軌跡與x軸正半軸的交點，直線l交點M的軌跡于E，F兩點（E，F與點K不重合），且滿足

KE

⊥

KF

．動點P滿足2

OP

=

OE

+

OF

，求直線KP的斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）欲求點M的軌跡方程，由橢圓的定義知動點M的軌跡是以點D為焦點、直線AB為其相應準線，離心率為

1

2

的橢圓，只須求出其a，b，c即可．
（II）先設設直線EF的方程為x=my+n，代入橢圓方程得到關于y的一元二次方程，利用根與系數的關系結合向量條件求得n的值，再利用向量關系式表示出直線KP的斜率，最后求出斜率的取值范圍．

解答：解：（I）依題意知，點M的軌跡是以點D為焦點、
直線AB為其相應準線，離心率為

1

2

的橢圓
設橢圓的長軸長為2a，短軸長為2b，焦距為2c，
又|

OC

|=4，

CD

=3

DO

，
∴點D在x軸上，且

CD

=3，則

a2

c

-c=3
解之得：a=2，c=1，b=

3

．
∴坐標原點O為橢圓的對稱中心．
∴動點M的軌跡方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；（4分）
（II）設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
設直線EF的方程為x=my+n，
代入

x2

4

+

y2

3

=1得（3m²+4）y²+6mny+3n²-12=0．（5分）
△=36m²n²-12（3m²+4）（n²-4），
y1+y2=-

6mn

3m2+4

，y1y2=

3n2-12

3m2+4

.x1+x2=m(y1+y2)+2n=

8n

3m2+4

，x1x2=

4n2-12m2

3m2+4

（6分）
∵

KE

⊥

KF

，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴

4n2-12m2-16n+12m2+16+3n2-12

3m2+4

=0，∴7n²-16n+4=0．
解得：n=

2

7

，n=2（舍）．（8分）
設P（x₀，y₀），由2

OP

=

OE

+

OF

知，
x0=

x1+x2

2

，y0=

y1+y2

2

．
直線KP的斜率為k=

y0

x0-2

=

m

7m2+8

．（10分）
當m=0時，k=0；
當m≠0時，k=

1

7m+ 8 m

，
∵7m+

8

m

≥4

14

(m=

8 7

時取“=”）
或7m+

8

m

≤-4

14

(m=-

8 7

時取“=”），
∴k∈[-

1

4 14

，0)∪(0，

1

4 14

]（12分）
綜上所述k∈[-

14

56

，

14

56

]．（13分）

點評：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線，向量的運算等基礎知識，以及求最值的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力．