Question

如圖，在棱長為4的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，點P在棱CC₁上，且CC₁ = 4CP.

（1）求直線AP與平面BCC₁B₁所成角的大小；（結果用反三角函數值表示）

（2）設O點在平面D₁AP上的射影是H，求證：D₁H⊥AP；

（3）求點P到平面ABD₁的距離.

Answer 1

（1）解：∵AB⊥平面BCC₁B₁，

∴AP與平面BCC₁B₁所成的角為∠APB.

如圖建立空間直角坐標系，坐標原點為D.

∵CC₁ = 4CP，CC₁ = 4，

∴CP = 1，A (4, 0, 0)，P (0, 4, 1)，B (4, 4, 0).

∴.

∵,

∴cos∠.

∴直線AP與平面BCC₁B₁所成的角為arccos.

（2）證明：連結D₁O，由（1）有D₁ (0, 0, 4)，O (2, 2, 4)，

∴.     ∴.

∵平面D₁AP的斜線D₁O在這個平面內的射影是D₁H，∴D₁H⊥AP.

（3）解：連結BC₁，在平面BCC₁B₁中，過點P作PQ⊥BC₁于點Q.

∵AB⊥平面BCC₁B₁，平面BCC₁B₁，∴PQ⊥AB.

∴PQ⊥平面ABC₁D₁. ∴PQ就是點P到平面ABD₁的距離.

在Rt△C₁PQ中，∠C₁QP = 90°，∠PC₁Q = 45°，PC₁ = 3，

∴，即點P到平面ABD_­1的距離為.