Question

已知函數(shù)（均為正常數(shù)），設(shè)函數(shù)在處有極值.

（1）若對任意的，不等式總成立，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查思維能力、運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力，考查函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法.第一問，對求導(dǎo)，因為在有極值，所以是的根，列出表達(dá)式，求出，不等式恒成立等價于恒成立，所以下面的主要任務(wù)是求的最大值，對求導(dǎo)，利用三角公式化簡，求的最值，判斷的正負(fù)，從而判斷的單調(diào)性，求出最大值；第二問，由單調(diào)遞增，所以解出的取值范圍，由已知在上單調(diào)遞增，所以得出，利用子集關(guān)系列出不等式組，解出.

試題解析：∵，∴，

由題意，得，，解得.     2分

（1）不等式等價于對于一切恒成立.      4分

記

     5分

∵，∴，∴，∴，

∴，從而在上是減函數(shù).

∴，于是，故的取值范圍是.     6分

（2），由，得，即

.     7分

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

∴，

則有，，     9分

即，，

∴只有時，適合題意，故的取值范圍為.     12分

考點：1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；2.兩角和的正弦公式；3.三角函數(shù)的最值；4.恒成立問題；5.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性.