Question

（2010•臺州一模）已知向量

a

=（sin（x+

π

2

），sinx），

b

=（cosx，-sinx），函數f（x）=m（

a

•

b

+

3

sin2x），（m為正實數）．
（1）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（2）將函數f（x）的圖象的縱坐標保持不變，橫坐標擴大到原來的兩倍，然后再向右平移

π

6

個單位得到y=g（x）的圖象，試探討：當x⊆[0，π]時，函數y=g（x）與y=1的圖象的交點個數．

Answer 1

分析：（1）向量

a

=（sin（x+

π

2

），sinx），

b

=（cosx，-sinx），代入f（x）=m（

a

•

b

+

3

sin2x），利用二倍角公式兩角和的正弦函數化簡為一個角的一個三角函數的形式，求出它的周期，利用正弦函數的單調減區間求出函數的單調減區間即可．
（2）橫坐標擴大到原來的兩倍，得2sin(x+

π

6

)，向右平移

π

6

個單位，得2sin[(x-

π

6

)+

π

6

]，從而可求g（x）的解析式，利用函數g（x）的最值結合圖象即可得出答案．

解答：解：（1）f(x)=m(

a

•

b

+

3

sin2x)=m(sin(x+

π

2

)cosx-sin 2x+

3

)sin2x]
=m(cos2x-sin 2x+

3

sin2x)
=2msin(2x+

π

6

)…（2分）
由m＞0知，函數f（x）的最小正周期T=π．（4分）
又2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，（k∈Z）
解得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，（k∈Z）..（5分）
所以函數的遞減區間是：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，（k∈Z）（6分）
（2）橫坐標擴大到原來的兩倍，得2msin(x+

π

6

)，
向右平移

π

6

個單位，得2msin[(x-

π

6

)+

π

6

]，
所以：g（x）=2msinx．…（7分）
由  0≤x≤π及m＞0得0≤g（x）≤2m  …（8分）
所以當0＜m＜

1

2

時，y=g（x）與y=1無交點
當m=

1

2

時，y=g（x）與y=1有唯一公共點
當m＞

1

2

時，y=g（x）與y=1有兩個公共點   …（12分）

點評：本題是基礎題，考查向量的數量積，三角函數的周期以及單調增區間的求法，三角函數的圖象的平移，是常考題型．