Question

已知點P是橢圓C：+=1（a＞b＞0）上的點，橢圓短軸長為2，F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，|OP|=，•=（點O為坐標原點）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；
（Ⅱ）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點，若橢圓C上兩點M、N使+=λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用橢圓短軸長為2，求b．利用，|OP|=，•=，可求c，進而求出橢圓方程和離心率．
（Ⅱ）將直線方程和橢圓方程聯立，進行消元，轉化為一元二次方程問題，然后利用根與系數之間的關系進行求解．
解答：解：（Ⅰ）設P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0）由|OP|=，得，…（1分）
由•=得，即…（2分）
所以c=，又因為短軸長為2，所以b=1，所以離心率e=，…（4分）
橢圓C的方程為：；…（6分）
（Ⅱ）解法一：由得，設直線MN的方程為y=kx+m，
聯立方程組消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0…（7分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，…（8分）
所以．

因為+=λ，λ∈（0，2），所以，，
得，于是，…（9分）
所以…（10分）
又因為λ＞0，原點O到直線MN的距離為   所以=，
當，即時等號成立，S_△OMN的最大值為…（13分）
點評：本題主要考查了橢圓的方程和性質，以及直線與橢圓的位置關系．綜合性較強，運算量較大．