Question

設函數f（x）=x²-ax+a+3，g（x）=x-a．若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，則實數a的取值范圍是

[-3，6]

．

Answer 1

分析：當x＞a時，g（x）＞0恒成立，顯然不存在x₀∈（a，+∞），使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，當x≤a時，則需f（x）≥0在（-∞，a]上恒成立，只需f（x）在（-∞，a]上的最小值大于或等于零即可，利用二次函數的圖象性質求最小值并解不等式即可得a的取值范圍

解答：解：①若x≤a，則g（x）≤0，此時若不存在x₀∈（-∞，a]，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，需f（x）≥0在（-∞，a]上恒成立，
即x²-ax+a+3≥0在（-∞，a]上恒成立，
需

a＞0 f( a 2 )≥0

或

a≤0 f(a)≥0

，即

a＞0 - a2 4 +a+3≥0

或

a≤0 a+3≥0

解得：-3≤a≤6
②若x＞a，則g（x）＞0恒成立，顯然不存在x₀∈（a，+∞），使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，此時a∈R
綜上所述，若不存在x₀∈R，使得f（x₀）＜0與g（x₀）＜0同時成立，實數a的取值范圍是[-3，6]
故答案為[-3，6]

點評：本題主要考查了二次函數和一次函數的圖象和性質，不等式恒成立和能成立問題的解法，分類討論的思想方法和轉化化歸的思想方法