Question

已知奇函數f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上有意義，且在（0，+∞）上是減函數，f（1）=0，又有函數g（θ）=sin²θ+mcosθ-2m，θ∈[0，

π

2

]，若集合M={m|g（θ）＜0}，集合N={m|f[g（θ）]＞0}．
（1）解不等式f（x）＞0；
（2）求M∩N．

Answer 1

分析：（1）由函數的奇偶性及單調性可判斷在（-∞，0）上的單調性，再根據f（-1）=f（1）=0可解得不等式；
（2）由（1）知N={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，知M∩N={m|g（θ）＜-1}，由g（θ）＜-1，分離出m后轉化為函數最值即可；

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數且f（1）=0，∴f（-1）=-f（1）=0，
又f（x）在（0，+∞）上是減函數，
∴f（x）在（-∞，0）上也是減函數，
故f（x）＞0的解集為{x|x＜-1或0＜x＜1}，
（2）由（1）知N={m|g（θ）＜-1或0＜g（θ）＜1}，
∴M∩N={m|g（θ）＜-1}，
由g（θ）＜-1，得（2-cosθ）m＞2-cos²θ，即m＞

2-cos2θ

2-cosθ

=4-[(2-cosθ)+

2

2-cosθ

]，
∵θ∈[0，

π

2

]，∴2-cosθ∈[1，2]，
∴(2-cosθ)+

2

2-cosθ

≥2

2

，等號成立時cosθ=2-

2

．
故4-[(2-cosθ)+

2

2-cosθ

]的最大值是4-2

2

．
從而m＞4-2

2

，即M∩N={m|m＞4-2

2

}．

點評：本題考查函數奇偶性單調性的綜合應用、不等式的求解，解抽象不等式往往運用函數的單調性解決．