Question

某商場銷售某種商品的經驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關系式y＝＋10(x－6)2，其中3＜x＜6，a為常數．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．

(1)求a的值；

(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．

 

Answer 1

（1）a＝2（2）4元/千克

【解析】(1)因為x＝5時，y＝11，

所以＋10＝11，則a＝2.

(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝＋10(x－6)2，

3＜x＜6.

所以商場每日銷售商品所獲得的利潤

f(x)＝(x－3)

＝2＋10(x－3)(x－6)2,3＜x＜6.

從而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)(x－6)，

于是當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(3,4)	4	(4,6)
f′(x)	＋	0	－
f(x)	?	極大值42	?

由上表可得，x＝4是函數f(x)在區間(3,6)內的極大值點，也是最大值點．

所以，當x＝4時，函數f(x)取得最大值，且最大值等于42.

所以，當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．