Question

已知函數，，k為非零實數.
（Ⅰ）設t=k²,若函數f(x),g(x)在區間(0,+∞)上單調性相同，求k的取值范圍;
（Ⅱ）是否存在正實數k，都能找到t∈[1,2],使得關于x的方程f(x)=g(x)在[1,5]上有且僅有一個實數根，且在[－5,－1]上至多有一個實數根.若存在，請求出所有k的值的集合；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解：（1）當k>0時，因為f(x)=kx,在(0,+∞)單調遞增，所以在(0,+∞)單調遞增
但在(0,+∞)上，，所以不符合已知
當k<0時，因為在(0,+∞)上，
，所以在(0,+∞)單調遞減，所以f(x)=kx,在(0,+∞)單調遞減
則k<0符合題意。
（2）

因為
，所以存在符合題意的k。

本試題考查了運用導數來研究函數的單調性，并求解參數的取值范圍。與此同時還能對于方程解的問題，轉化為圖像與圖像的交點問題來長處理的數學思想的運用。