Question

（08年哈九中） 已知斜三棱柱的各棱長均為2， 側棱與底面所成角為，

且側面底面.

（1）證明：點在平面上的射影為的中點；

（2）求二面角的大小 ；

（3）求點到平面的距離.

 

 

Answer 1

解析:（1）證明：過B₁點作B₁O⊥BA。∵側面ABB₁A₁⊥底面ABC

∴A₁O⊥面ABC ∴∠B₁BA是側面BB₁與底面ABC傾斜角

∴∠B₁BO=  在Rt△B₁OB中，BB₁=2，∴BO=BB₁=1

又∵BB₁=AB，∴BO=AB ∴O是AB的中點。

即點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點                                       

   （2）連接AB₁過點O作OM⊥AB₁，連線CM，OC，

∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA₁BB₁ ∴OC⊥平面AABB。

∴OM是斜線CM在平面AA₁B₁B的射影 ∵OM⊥AB₁

∴AB₁⊥CM  ∴∠OMC是二面角C―AB₁―B的平面角

在Rt△OCM中，OC=，OM=

∴∠OMC=cosC+sin2

∴二面角C―AB₁―B的大小為                                              

   （3）過點O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON

∴ON⊥平面AB₁C。∴ON是O點到平面AB₁C的距離

連接BC₁與B₁C相交于點H，則H是BC₁的中點

∴B與C₁到平面ACB₁的相導。

又∵O是AB的中點 ∴B到平面AB₁C的距離

是O到平面AB₁C距離的2倍

    是G到平面AB₁C距離為