Question

已知函數f(x)=

2x-2-x

2x+2-x

（1）求f（x）的定義域與值域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并證明；
（3）研究f（x）的單調性．

Answer 1

分析：原函數化為：：f(x)=

4x-1

4x+1

（1）求f（x）的定義域可令分母4^x+1≠0求解，對函數的解析式進行變化，判斷出值域即可值域；
（2）討論f（x）的奇偶性并證明，本函數是一個奇函數，由定義法證明即可；
（3）判斷f（x）在（-∞，+∞）的單調性并證明，由解析式可以看出本函數在（-∞，+∞）是一個減函數，可由復合函數的單調性的判斷方法判斷證明即可．

解答：解：原函數化為：f(x)=

4x-1

4x+1

．
（1）令分母4^x+1≠0，該不等式恒成立，故定義域為R
函數的解析式可以變為f(x)=1-

2

4x+1

，由于4^x+1＞1，故0＜

1

4x+1

＜1
故0＜

2

4x+1

＜2，
∴f（x）的值域是（-1，1）
（2）函數是一個奇函數，證明如下
f(-x)=

4-x-1

4-x+1

=

1-4x

1+4x

= -

4x-1

4x+1

=-f(x)，故是一個奇函數．
（3）f（x）在（-∞，+∞）是一個增函數，證明如下
由于f(x)=1-

2

4x+1

，在（-∞，+∞）上，2^x+1遞增且函數值大于0，

2

4x+1

在（-∞，+∞）上是減函數，
故f(x)=1-

2

4x+1

在（-∞，+∞）上是增函數．

點評：本題考查函數單調性的、奇偶性的判斷與證明以及函數的定義域與值域的求法，求解此類題的關鍵是對函數性質的證明方法了然于胸，熟知其各種判斷證明方法．