Question

17.如圖，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（1,2）、A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）均在拋物線上.

（Ⅰ）寫出該拋物線的方程及其準線方程；

（Ⅱ）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y₁+y₂的值及直線AB的斜率.

Answer 1

17.本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力.

解：（Ⅰ）由已知條件，可設拋物線的方程為y²=2px.

∵點P（1,2）在拋物線上,

∴2²=2p·1,得p=2.

故所求拋物線的方程是y²=4x,

準線方程是x=－1.

　（Ⅱ）設直線PA的斜率為k_PA,直線PB的斜率為k_PB，

則k_PA=（x₁≠1）,k_PB=（x₂≠1）.

∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補，

∴k_PA=－k_PB.

由A（x₁,y₁），B（x₂,y₂）在拋物線上，得

y₁²=4x₁,                                                           ①

y₂²=4x₂,                                                           ②

∴=－.

∴y₁+2=－（y₂+2）.

∴y₁+y₂=－4.

由①－②得直線AB的斜率

k_AB===－=－1（x₁≠x₂）.