Question

已知f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，且f（x）-g（x）=x³+x²+x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判斷f（x）的單調性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）將-x代入已知等式，利用函數f（x）、g（x）的奇偶性，得f（x）與g（x）的又一等式，將二者看做未知數解方程組即可得f（x）的解析式；（2）利用函數單調性的定義，設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，利用作差法比較f（x₁）與f（x₂）的大小，即可證明函數的單調性

解答：解：（1）∵f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，且f（x）-g（x）=x³+x²+x．①
∴f（-x）-g（-x）=-x³+x²-x，即-f（x）-g（x）=-x³+x²-x  ②
①-②得2f（x）=2x³+2x，∴f（x）=x³+x
（2）函數f（x）為R上的單調增函數
證明：設x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁³+x₁-（x₂³+x₂）=x₁³-x₂³+（x₁-x₂）
=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²）+（x₁-x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）
∵x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁²+x₁x₂+x₂²+1=（x₁+

x2

2

）2+

3x22

4

+1＞0
∴（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²+1）＜0
即f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
∴函數f（x）在R上為增函數．

點評：本題考查了函數奇偶性，解方程組法求函數的解析式，利用單調性定義證明函數單調性的方法，作差法比較大小的方法和技巧