Question

已知函數f（x）滿足f（log_ax）=

a(x2-1)

x(a2-1)

，（其中a＞0且a≠1）
（1）求f（x）的解析式及其定義域；
（2）在函數y=f（x）的圖象上是否存在兩個不同的點，使過兩點的直線與x軸平行，如果存在，求出兩點；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用換元法求函數的解析式和定義域，設t=log_ax，則x=a^t，t∈R，代入原函數即可的函數f（x）的解析式，（2）利用函數單調性的定義證明函數f（x）為定義域上的單調函數即可說明不存在兩個不同的點，使過兩點的直線與x軸平行

解答：解：（1）設t=log_ax，則x=a^t，t∈R
∴f（t）=

a(a2t-1)

at(a2-1)

=

a

a2-1

×

a2t-1

at

=

a

a2-1

(at-a-t)   (t∈R)
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)(x∈R)，定義域為R
（2）不存在，理由如下：
設x₁，x₂∈R且x₁＜x₂
則f(x1)-f(x2)=

a

a2-1

(ax1-a-x1-ax2+a-x2)
=

a

a2-1

(ax1-ax2+ 

ax1-ax2

ax1+x2

)
=

a(ax1-ax2)(ax1+x2+1)

(a2-1)ax1+x2

∵ax1+x2+1＞0，ax1+x2＞0，而不論a＞1 還是0＜a＜1 ax1-ax2與a²-1同號
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在R上是增函數．
故在函數y=f（x）的圖象上不存在兩個不同的點，使過兩點的直線與x軸平行．

點評：本題考查了換元法求函數的解析式和定義域，函數單調性的定義及其證明，代數變換推理證明能力