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已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=(cosωx，cosωx)其中ω＞0，記函數f(x)=
a
•
b
，已知f（x）的最小正周期為π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）說出由y=sinx的圖象經過如何的變換可得到f（x）的圖象；
（3）當0＜x＜
π
3
時，試求f（x）的值域．
分析：（1）由函數f（x）=
a
•
b
轉化為sin（2ωx+
π
6
）+
1
2
，利用周期公式求得ω，即可得出f（x）的解析式；
（2）函數y=sinx的圖象經過左右平移，得y=sin(x+
π
6
)的圖象，然后是橫坐標變伸縮變換，縱坐標不變，可得到y=sin（2x+
π
6
）的圖象，最后再向上平移
1
2
個單位就得到f（x）=sin（2x+
π
6
）+
1
2
的圖象．
（3）由（1）得f（x）=sin（2x+
π
6
）+
1
2
，由0＜x＜
π
3
，得
π
6
＜2x+
π
6
＜
5π
6
，再利用整體思想求解求f（x）的值域．
解答：解：（1）f（x）=
3
sinωxcosωx+cos2ωx=
3
2
sin2ωx+
1
2
（1+cos2ωx）
=sin（2ωx+
π
6
）+
1
2

∵ω＞0，∴T=π=
2π
2ω
，∴ω=1．
f（x）=sin（2x+
π
6
）+
1
2
，
（2）y=sinx的圖象向左平移
π
6
個單位得y=sin(x+
π
6
)的圖象
再由y=sin(x+
π
6
)圖象上所有點的橫坐標變為原來的
1
2
，縱坐標不變，
得到y=sin（2x+
π
6
）的圖象，
最后再向上平移
1
2
個單位就得到f（x）=sin（2x+
π
6
）+
1
2
的圖象．
（3）由（1），得∵0＜x＜
π
3
，
∴
π
6
＜2x+
π
6
＜
5π
6
．
∴f（x）∈（1，
3
2
]
∴求f（x）的值域為：（1，
3
2
]．
點評：本題主要考查用向量運算將函數轉化為一個角的一種三角函數，進一步研究三角函數的周期性和值域．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，則
a
•
b
的最大值為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=（cosωx，-cosωx），ω＞0，記函數f（x）=
a
•
b
，已知f（x）的最小正周期為
π
2
．
（1）求ω的值；
（2）設△ABC的三邊a、b、c滿足b2=ac，且邊b所對的角為x，求此時函數f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
sin(π-ωx)，cosωx)，
b
=(cosωx，-cosωx)，函數f(x)=
a
•
b
+
1
2
（ω＞0）的圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
4
．
（1）求ω值；
（2）若cosx≥
1
2
，x∈(0，π)，且f（x）=m有且僅有一個實根，求實數m的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=(
3
sinωx，cosωx)，
b
=(cosωx，cosωx)，ω＞0，記函數f（x）=
a
•
b
，
若函數f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）當0＜x≤
π
3
時，試求f（x）的值域；
（3）求f（x）在[0，π]上的單調遞增區間．

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