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斜三棱柱OAB-CA1B1，其中向量
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OC
=
.
c
，三個向量之間的夾角均為
π
3
，點M，N分別在CA1，BA1上且
CM
=
1
2
MA1
，
BN
=
NA1
，|
OA
|=2，|
OB
|=2，
|OC|
=4，如圖
（1）把向量
AM
用向量
a
，
c
表示出來，并求|
AM
|；
（2）把向量
ON
用
a
，
b
，
c
表示；
（3）求AM與ON所成角的余弦值．
分析：（1）先用
a
、
c
表示
OM
，
AM
，利用
AM
=
OM
-
OA
表示出
AM
，根據向量的模計算公式計算求得|
AM
|．
（2）由
BN
=
NA1
得N為BA1的中點，利用
ON
=
1
2
（
OB
+
OA1
）表示出
ON
．
（3）利用模計算公式求出|
ON
|，利用向量的數量積運算求出
AM
•
ON
，根據cos＜
AM
，
ON
＞=
AM
•
ON
|
AM
||
ON
|
求異面直線所成角的余弦值．
解答：解：（1）如圖：
OM
=
OC
+
CM
=
c
+
1
3
a
，
AM
=
OM
-
OA
=
c
+
1
3
a
-
a
=
c
-
2
3
a
，
∵∠AOC=
π
3
，∴|
AM
|=
c
2+
4
9
a
2-2×
2
3
a
•
c
=
16+
16
9
-
4
3
×2×4×
1
2
=
4
7
3
；
（2）∵
OA1
=
OA
+
OC
=
c
+
a
，
OB
=
b
，
又
BN
=
NA1
，N為BA1的中點，
∴
ON
=
1
2
（
OB
+
OA1
）=
1
2
（
a
+
b
+
c
）；
（3）三個向量之間的夾角均是
π
3
，|
ON
|=
1
2
×
4+4+16+2×2×2×
1
2
+2×2×4×
1
2
+2×4×2×
1
2
=
1
2
×
44
=
11
，
∴
AM
•
ON
=(-
2
3
a
+
c
)•
1
2
(
a
+
b
+
c
)=-
1
3
×（4+2×2×
1
2
+2×4×
1
2
）+
1
2
×（2×4×
1
2
+2×4×
1
2
+4×4）=
26
3
，
COS＜
AM
，
ON
＞=
AM
•
ON
|
AM
|•
|ON|
=
26
3
4
7
3
×
11
=
13
77
154
，
故異面直線AM與ON所成的角的余弦值為
13
77
154
．
點評：本題考查了用向量運算求異面直線所成的角，考查了向量的加、減、數量積運算，考查了向量的模運算公式，運算量大，計算時一定要細心．
練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的側面BB1C1C與底面ABC垂直，BB1=BC，∠B1BC=60°，AB=AC，M是B1C1的中點，
（1）求證：AB1∥平面A1CM；
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（1）若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；
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如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1　　中，側面AA1B1B⊥底面ABC，側棱AA1與底面ABC成600的角，AA1=2．底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點．E是線段BC1上一點，且BE=
13
BC1．
（1）求證：GE∥側面AA1B1B；
（2）求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的大小．

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精英家教網如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，側面AA1B1B⊥底面ABC，側棱AA1與底面ABC成60°的角，AA1=2．底面ABC是邊長為2的正三角形，其重心為G點，E是線段BC1上一點，且BE=
13
BC1．
（1）求證：GE∥側面AA1BB；
（2）求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值．

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