Question

已知a²+b²=1,b²+c²=2,c²+a²=2,則ab+bc+ca的最小值為_____________.

Answer 1

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解析:(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc,

∴2ab+2ac+2bc=(a+b+c)²-(a²+b²+c²).

由a²+b²=1,a²+c²=2,b²+c²=2知a²=b²=,c²=,

∴2ab+2ac+2bc=(a+b+c)²-.

要求ab+ac+bc的最小值,只需求(a+b+c)²的最小值,

即求a+b+c的絕對值的最小值.

當a=b=,c=-時滿足題意,

∴a+b+c=,此時(a+b+c)²==-2.

∴2ab+2ac+2bc的最小值為-2-=1-2.

故ab+ac+bc的最小值為-.