Question

設點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點，其中F₁，F₂分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF₁|=2|PF₂|，則雙曲線的離心率為

5

．

Answer 1

分析：根據點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點可得點P到原點的距離，∠F₁PF₂=90°，再根據|PF₁|=2|PF₂|，借助于雙曲線的定義，利用勾股定理，可求得結論．

解答：解：∵點P是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)與圓x²+y²=a²+b²在第一象限的交點
∴點P到原點的距離|PO|=

a2+b2

=c，∠F₁PF₂=90°，
∵|PF₁|=2|PF₂|，
∴|PF₁|-|PF₂|=|PF₂|=2a，
∴|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，
∴16a²+4a²=4c²，
∴5a²=c²，
∴e=

c

a

=

5

故答案為：

5

點評：本題重點考查圓與雙曲線的性質，確定|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，是解題的關鍵．