Question

設(shè)集合W是滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列的集合：①對(duì)任意，恒成立；②對(duì)任意，存在與n無(wú)關(guān)的常數(shù)M，使恒成立．

（1）若是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)和，且試探究數(shù)列與集合W之間的關(guān)系；

（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，且，求M的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的性質(zhì)得到的前n項(xiàng)和，然后檢驗(yàn)其是否滿(mǎn)足①②條件即可；（2）由數(shù)列的通項(xiàng)公式經(jīng)作差可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，即，從而得到數(shù)列中的最大項(xiàng)為，由恒成立，從而知的取值范圍是.

試題解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的公差是，則

 解得   1分

∴   (3分)

∴ 

∴，適合條件①

又，

∴當(dāng)或時(shí)，取得最大值20，即，適合條件②．

綜上，    （6分）

（2）∵，

∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減；   9分

當(dāng)時(shí)，，即，   10分

因此，數(shù)列中的最大項(xiàng)是，   11分

∴，即M的取值范圍是．   12分

考點(diǎn)：1.新概念的理解；2.等差數(shù)列的性質(zhì)；3.數(shù)列的單調(diào)性.