Question

（本小題滿分13分）

已知菱形ABCD中，AB=4， （如圖1所示），將菱形ABCD沿對角線翻折，使點翻折到點的位置（如圖2所示），點E，F，M分別是AB，DC₁，BC₁的中點．

  

（1）證明：BD //平面；

（2）證明：

（3）當時，求線段AC₁ 的長．

 

Answer 1

【答案】

證明：（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）．

【解析】本事主要是考查了空間幾何體中線面的平行的證明以及線線垂直的證明，以及利用線段的垂直關系求解線段的長度。

（1）先證明線線垂直，然后利用線面平行的判定定理得到，BD //平面；

（2）運用在菱形中，設為的交點,則來證明：

（3）當時，可證明平面．，然后借助于溝谷定理得到線段AC₁ 的長．

證明：（Ⅰ）因為點分別是的中點，

             所以．                 ………………………………………2分

             又平面，平面,

       所以平面．           ………………………………………4分

        （Ⅱ）在菱形中，設為的交點,

　　　　　　 則．                   ………………………………………5分

　　所以 在三棱錐中，.

　　　　　　又 　

所以 平面．……………………7分

　　　　　　又 平面，所以 ．………………8分

 

　　　（Ⅲ）連結．在菱形中，，

　　　　　　所以 是等邊三角形.     所以 ．          ……10分

　　　　　　因為 為中點，所以 ．

            又 ，．

            所以 平面，即平面．

………………………………………12分

            又 平面，所以 ．

因為 ，， 所以 ．…13分