Question

（本題滿分12分）

    已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的標準方程為；（2）直線過定點，定點坐標為

【解析】本題考查橢圓的性質及應用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，綜合性強，屬于中檔題．

（1）由已知橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1，可得：a+c=3，a-c=1，從而可求橢圓的標準方程；

（2）直線與橢圓方程聯立，利用以AB為直徑的圓過橢圓的右頂點D（2，0），結合根的判別式和根與系數的關系求解，即可求得結論．

解：（1）由題意設橢圓的標準方程為，

由已知得：，

橢圓的標準方程為-------4分

（2）設

聯立   得，則----5分

-----8分

又

因為以為直徑的圓過橢圓的右頂點，

，即

-

解得：，且均滿足------9分

當時，的方程，直線過點，與已知矛盾；

當時，的方程為，直線過定點

所以，直線過定點，定點坐標為------12分