Question

如圖，9個正數(shù)排列成3行3列，其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，且所有的公比都是q，已知a₁₂=1，a23=

3

4

，a32=

1

4

，又設(shè)第一行數(shù)列的公差為d₁．
（Ⅰ）求出a₁₁，d₁及q；
（Ⅱ）若保持這9個數(shù)的位置不動，按照上述規(guī)律，補成一個n行n列的數(shù)表如下，試寫出數(shù)表第n行第n列a_nn的表達(dá)式，并求S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）仔細(xì)觀察圖表，由題設(shè)條件知

a12=a11+d1=1 a23=a13•q=(a11+2d1)q= 3 4 a32 a12 =q2 aij＞0(i，j=1，2，…n)

，由此能求出求出a₁₁，d₁及q．
（Ⅱ）由圖表中的規(guī)律，知ann=a1nqn-1=[a11+(n-1)d1]qn-1=n•(

1

2

)n，由此利用錯位相減法能求出S_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn的值．

解答：（本題滿分13分）
解：（Ⅰ）∵9個正數(shù)排列成3行3列，其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，
每一列的數(shù)成等比數(shù)列，且所有的公比都是q，
a₁₂=1，a23=

3

4

，a32=

1

4

，設(shè)第一行數(shù)列的公差為d₁．
∴

a12=a11+d1=1 a23=a13•q=(a11+2d1)q= 3 4 a32 a12 =q2 aij＞0(i，j=1，2，…n)

，
解得

a   11 = 1 2 d1= 1 2 q= 1 2

．
（Ⅱ）因為ann=a1nqn-1=[a11+(n-1)d1]qn-1=n•(

1

2

)n，
∴Sn=a11+a22+…+ann=

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n①

1

2

sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+(n-1)(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1②
由①-②，得

1

2

sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n•(

1

2

)n+1，
∴sn=2-(n+2)(

1

2

)n．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查推理論證能力，考查等價轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，解題時要注意錯位相減法的合理運用．