已知數列
是首項為
，公比
的等比數列.設
，
，數列
滿足
；
（Ⅰ）求證：數列
成等差數列；
（Ⅱ）求數列的前
項和
；
（Ⅲ）若
對一切正整數恒成立，求實數
的取值范圍.
（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）
；（Ⅲ）
或
.
解析試題分析：(Ⅰ) 本小題首先數列是首項為，公比的等比數列求得數列的通項公式
，再代入即可求得數列的通項公式
，然后根據等差數列的定義來判斷其為等差數列；
(Ⅱ) 本小題首先求得數列的通項公式
，分析可知對其求和需用錯位相減求和的方法，于是求得該數列的前項和；
（Ⅲ）本小題首先分析對一切正整數恒成立，等價于
，于是就分析數列的單調性，求得其的最大項
，代入解不等式即可.
試題解析：（Ⅰ）由已知可得，
，
為等差數列，其中
. 5分
（Ⅱ）
① 
②
-②得
9分
（Ⅲ）
當
時，
，當
時，
，
若對一切正整數
恒成立，則
即可
，即或. 14分
考點：1.等差等比數列；2.錯位相減求和；3.恒成立問題.
奪冠金卷全能練考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設等比數列
的首項為
，公比為
（為正整數），且滿足
是
與
的等差中項；數列
滿足
（
）.
（1）求數列的通項公式；
（2）試確定
的值，使得數列為等差數列；
（3）當為等差數列時，對每個正整數
，在
與
之間插入
個2，得到一個新數列
. 設
是數列 的前
項和，試求滿足
的所有正整數
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
為等差數列，數列
為等比數列且公比大于1，若
，
，且
恰好是一各項均為正整數的等比數列的前三項.
（1）求數列，的通項公式；
（2）設數列
滿足
，求
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知數列
的前
項的和為
，點
在函數
的圖象上．
（1）求數列的通項公式及的最大值；
（2）令
，求數列
的前項的和；
（3）設
，數列
的前項的和為
，求使不等式
對一切
都成立的最大正整數
的值．
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中，
，且
是
和
的等差中項．
的通項公式；
滿足
，求
項和
．
的前n項和為
，且
，
．設數列
前n項和為
，且
，求數列
滿足：
，且
是
的等差中項.
，
，求使
成立的正整數
的最小值.
滿足
，
，且
（
）．
，求數列
的前n項和
．
（
）的等差數列
與公比為
（
）的等比數列
有如下關系：
，
，
．
，
，
，求集合
中的各元素之和。