Question

（本小題滿分12分）函數f(x)=ax²－2(a－1)x－2lnx ,a>0

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)對于函數圖像上的不同兩點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，如果在函數圖像上存在點P(x₀,y₀)（其中x₀在x₁與x₂之間），使得點P處的切線l平行于直線AB，則稱AB存在“伴隨切線”，當x₀=  時，又稱AB存在“中值伴隨切線”.試問：在函數f(x)的圖像上是否存在不同兩點A,B，使得AB存在“中值伴隨切線”？若存在，求出A,B的坐標；若不存在，說明理由

 

Answer 1

【答案】

(1) 遞增區間是，遞減區間是(2)

【解析】（1）先求出函數的導數，然后根據導數知識求出函數的單調區間；（2）對于是否存在問題，先假設存在，把結論當條件，構造函數，利用導數法得出函數的單調性，再利用單調性得出不等式，推出與已知條件矛盾，得出假設不成立

解：（1），

，

所以：遞增區間是，遞減區間是；………………………………………6分

（2）假設存在不同兩點，（不妨設），使得存在“中值伴隨切線”，則，………………………………………7分

化簡得：，即，……………………………8分

設函數，則，

當時，，即在上是增函數，………………………10分

又，所以，即，與上面結論矛盾，

所以在函數的圖像上是不存在不同兩點，使得存在“中值伴隨切線”.12分