Question

（2013•南通二模）在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：x²+y²=r²和直線l：x=a（其中r和a均為常數，且0＜r＜a），M為l上一動點，A₁，A₂為圓C與x軸的兩個交點，直線MA₁，MA₂與圓C的另一個交點分別為P、Q．
（1）若r=2，M點的坐標為（4，2），求直線PQ方程；
（2）求證：直線PQ過定點，并求定點的坐標．

Answer 1

分析：（1）通過r=2，M點的坐標為（4，2），求出A₁（-2，0），A₂（2，0）．然后推出P、Q坐標，即可求直線PQ方程；
（2）證明法一：設A₁（-r，0），A₂（r，0）．設M（a，t），求出直線MA₁的方程，直線MA₁的方程，通過直線與圓的方程聯立，求出直線PQ的方程，然后說明經過定點，求定點的坐標．
法二：設得A₁（-r，0），A₂（r，0）．設M（a，t），求出直線MA₁的方程，與圓C的交點P設為P（x₁，y₁）．求出直線MA₂的方程，與圓C的交點Q設為Q（x₂，y₂）．點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲線[（a+r）y-t（x+r）][（a-r）y-t（x-r）]=0上，有P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在圓C上，求出公共弦方程，說明經過定點，求定點的坐標．

解答：解：（1）當r=2，M（4，2），則A₁（-2，0），A₂（2，0）．
直線MA₁的方程：x-3y+2=0，解

x2+y2=4 x-3y+2=0

得P(

8

5

，  

6

5

)．…（2分）
直線MA₂的方程：x-y-2=0，解

x2+y2=4 x-y-2=0

得Q（0，-2）． …（4分）
由兩點式，得直線PQ方程為：2x-y-2=0． …（6分）
（2）證法一：由題設得A₁（-r，0），A₂（r，0）．設M（a，t），
直線MA₁的方程是：y=

t

a+r

（x+r），
直線MA₁的方程是：y=

t

a-r

（x-r）．…（8分）
解

x2+y2=r2 y= t a+r (x+r)

得P(

r(a+r)2-rt2

(a+r)2+t2

，  

2tr(a+r)

(a+r)2+t2

)．…（10分）
解

x2+y2=r2 y= t a-r (x-r)

得Q(

rt2-r(a-r)2

(a-r)2+t2

，  -

2tr(a-r)

(a-r)2+t2

)． …（12分）
于是直線PQ的斜率k_PQ=

2at

a2-t2-r2

，
直線PQ的方程為y-

2tr(a+r)

(a+r)2+t2

=

2at

a2-t2-r2

(x-

r(a+r)2-rt2

(a+r)2+t2

)． …（14分）
上式中令y=0，得x=

r2

a

，是一個與t無關的常數．
故直線PQ過定點(

r2

a

，  0)． …（16分）
證法二：由題設得A₁（-r，0），A₂（r，0）．設M（a，t），
直線MA₁的方程是：y=

t

a+r

（x+r），與圓C的交點P設為P（x₁，y₁）．
直線MA₂的方程是：y=

t

a-r

（x-r）；與圓C的交點Q設為Q（x₂，y₂）．
則點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在曲線[（a+r）y-t（x+r）][（a-r）y-t（x-r）]=0上，…（10分）
化簡得  （a²-r²）y²-2ty（ax-r²）+t²（x²-r²）=0．          ①
又有P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在圓C上，圓C：x²+y²-r²=0．②
①-t²×②得 （a²-r²）y²-2ty（ax-r²）-t²（x²-r²）-t²（ x²+y²-r²）=0，
化簡得：（a²-r²）y-2t（ax-r²）-t² y=0．
所以直線PQ的方程為（a²-r²）y-2t（ax-r²）-t² y=0．      ③…（14分）
在③中令y=0得 x=

r2

a

，故直線PQ過定點(

r2

a

，  0)．…（16分）

點評：不考查直線與圓的位置關系，直線系方程的應用，考查計算能力與轉化思想．