Question

如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，側面與底面成60°角，O為AC、BD的交點．

第18題圖

(1)求二面角O-PB-A的大小；

(2)若E為PB的中點，試在側面PAD上尋找一點F，使EF⊥側面PBC，并確定F點的位置．

Answer 1

答案：解法一：(1)在平面PAB內過A點作AB⊥PB，連HC，如圖所示a由題設易知△PBA≌△PBC，∴CH⊥PB，

第18題圖

∴∠AHC即為A-PB-C的平面角．

而由正四棱錐的性質知∠AHC即為所求角的二倍．

取BC的中點M，連PM及OM，則∠PMO=60°，

∴PO=OM

令底面邊長為a，∴PO=，∴PB=a，

∴CH=，AC=，∴cos∠AHC=

記二面角O-PB-A的平面角為α，∴cosα=

∴二面角O-PB-A的大小為arccos．

(2)F在AD上，且.

取AD的中點N，連PN、NM，易知△PNM為正三角形，

而BC⊥平面PMN

∴平面PBC⊥平面PMN．

取PM的中點K，則NK⊥PM，由面面垂直的性質定理知NK⊥平面PBC，又取AN的中點F，連FE，EK．

∴EKBM=AN=AF，∴四邊形FEKN為平行四邊形，∴FE∥NK，∴FE⊥平面PBC，故FE即為所求，從而F點在AD上，且．

解法二：連OP，取BC的中點M，連OM、PM，則PM⊥BC，OM⊥BC，∴∠PMO=60°

如圖b所示建立直角坐標系O-xyz，設正四棱錐底面邊長為a，則PO=．

第18題圖

∴P(0，0，)，B(，，0)，A(，，0)

=(0，0，)，=(，，0)

設平面OPB的法向量n₁=(x、y、z)，則解得

令x=1，∴y=-1，z=0，∴n₁=(1，-1，0)

同理可求平面PAB的法向量n₂=(，0，1)

∴cos＜n₁，n₂＞=，

∴二面角O-PB-A的大小為arccos．

(2)在(1)的坐標系中，C(,0),D(,0),E(a),

∴=(-a,0,0),=(),,=(-a,0,0),

設

=(-aλ，0，0)+()

=,

∴F

∵EF⊥平面PBC，

∴

∴

∴，即，∴F在線段AD上，且.