Question

甲、乙兩人用農藥治蟲,由于計算錯誤,在A,B兩個噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克,實際要求兩個噴霧器中的農藥的濃度是一樣的,現在只有兩個能容納1千克藥水的藥瓶,他們從A,B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水,將A中取得的倒入B中,B中取得的倒入A中,這樣操作進行了n次后,A噴霧器中藥水的濃度為a_n%,B噴霧器中藥水的濃度為b_n%.
(1)證明a_n+b_n是一個常數.
(2)求a_n與a_n-1的關系式.
(3)求a_n的表達式.

Answer 1

(1)見解析   (2) a_n=a_n-1+   (3) a_n=3()ⁿ+9

【思路點撥】(1)顯然不論如何操作,兩種農藥中含有的溶質是不變的,這是問題的實際應用.(2)建立第n-1次操作后兩種藥水的濃度和第n次操作后A噴霧器中藥水濃度的關系式.(3)利用(1)(2)的結果求解遞推數列.
解：(1)開始時,A中含有10×12%=1.2千克的農藥,B中含有10×6%=0.6千克的農藥,n次操作后,A中含有10×a_n%=0.1a_n千克的農藥,B中含有10×b_n%=0.1b_n千克的農藥,它們的和應與開始時農藥的質量和相等,從而有0.1a_n+0.1b_n=1.2+0.6,所以a_n+b_n=18(常數).
(2)第n次操作后,A中10千克藥水中農藥的質量具有關系式:9×a_n-1+1×b_n-1=10a_n,
由(1)知b_n-1=18-a_n-1,代入化簡得a_n=a_n-1+.
(3)令a_n+λ=(a_n-1+λ),利用待定系數法可求出
λ=-9,
所以a_n-9=(a_n-1-9),可知數列{a_n-9}是以a₁-9為首項,為公比的等比數列,
由a_n=a_n-1+得,a₁=×12+==11.4,
由等比數列的通項公式知:
a_n-9=(a₁-9)()^n-1=2.4()^n-1=()^n-1
=3()ⁿ,
所以a_n=3()ⁿ+9.