Question

（2013•牡丹江一模）已知函數f（x）是定義在（-∞，+∞）上的奇函數，若對于任意的實數x≥0，都有f（x+2）=f（x），且當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），則f（-2011）+f（2012）的值為（　　）

A．-1

B．-2

C．2

D．1

Answer 1

分析：由題設知函數在[0，+∞）內一個周期T=2，函數f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（-2011）+f（2012）=-f（2011）+f（2012）=-f（1）+f（0），再由當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），能求出f（-2011）+f（2012）的值．

解答：解：∵對于任意的實數x≥0，都有f（x+2）=f（x），
∴函數在[0，+∞）內的一個周期T=2，
∵函數f（x）是定義在R上的奇函數，
所以f（-2011）+f（2012）=-f（2011）+f（2012）
=-f（2011）+f（2012）
=-f（1）+f（0）
又當x∈[0，2）時，f（x）=log₂（x+1），
∴f（1）=log₂（1+1）=1
f（0）log₂（0+1）=0
因此f（-2011）+f（2012）
=-f（1）+f（0）
=-1+0
=-1．
故選A．

點評：本題考查函數的奇偶性、周期性的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理運用等價轉化．