Question

對定義在上，并且同時滿足以下兩個條件的函數稱為函數。

①對任意的，總有；

②當時，總有成立。

已知函數與是定義在上的函數。

（1）試問函數是否為函數？并說明理由；

（2）若函數是函數，求實數的值；

（3）在（2）的條件下，討論方程解的個數情況。

 

Answer 1

【答案】

(1) 函數是函數,(2) (3)

【解析】

試題分析：

（1）根據函數的定義，驗證函數的兩個條件，即可判斷；

（2）根據因為函數是函數，利用函數的兩個條件，即可求得實數的值；

（3）根據（2）知，原方程可以化為，再利用換元法，即可求實數的取值范圍．

對考查新定義的題要與熟悉的已知函數性質比較,參考其性質及運算特征進行計算，對新定義熟悉性質后求參數的取值，把方程解的情況轉化成求值域，利用換元法、配方法求函數的值域；解題的關鍵是正確理解新定義．

試題解析：

（1）當時，總有滿足①

當時

滿足②

所以函數是函數.

（2）

Ⅰ當時，不滿足①，所以不是是函數

Ⅱ當時，在上是增函數,則,滿足①

由 ,得

即

因為

所以，與不同時等于1

所以

所以

當時, 即于是

綜上所述:

(3) 根據（2）知，原方程可以化為

由得

令,則在單調遞增且值域為

所以，當時，方程有一解

當時方程無解

考點：函數恒成立問題．