Question

如果關于x的方程ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數解，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），故我們可將關于x的方程ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數解，轉化為方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數解，求出函數的導函數后，分類討論函數的單調性，即可得到答案．

解答：解：由函數解析式可得：x≠0，如果關于x的方程ax+

1

x2

=3有且僅有一個正實數解，
即方程ax³-3x²+1=0有且僅有一個正實數解，
構造函數f（x）=ax³-3x²+1
則函數f（x）的圖象與x正半軸有且僅有一個交點．
又∵f'（x）=3x（ax-2）
當a=0時，代入原方程知此時僅有一個正數解

3

3

，滿足要求；
當a＞0時，則得f（x）在（-∞，0）和（

2

a

，+∞）上單調遞增，在（0，

2

a

）上單調遞減，
f（0）=1，知若要滿足條件只有x=

2

a

時，f（x）取到極小值0，
x=

2

a

代入原方程得到正數解a=2，滿足要求；
當a＜0時，ax³=3x²-1，函數y=ax³  與y=3x²-1在x＞0時只有一個交點，滿足題意，
綜上：a≤0或a=2．
故答案為：a≤0或2

點評：本題考查的知識點是根的存在性及根的個數判斷，其中根據函數的定義域，將分式方程根的個數問題轉化為整式方程根的個數問題是解答本題的關鍵．