Question

（2012•瀘州模擬）已知函數f（x）=ax²+bx+1（a、b為實數），若f（-1）=0且函數f（x）的值域為[0，+∞）．
（I）求函數f（x）的解析式；
（II）設F（x）=xf（x），求曲線F（x）在x=1處的切線方程．

Answer 1

分析：（1）根據f（-1）=0可得a-b+1=0①又函數f（x）的值域為[0，+∞）可分析出a＞0故可將f（x）=ax²+bx+1變形為f（x）=a(x+

b

2a

)2+

4a-b2

4a

故y≥

4a-b2

4a

所以4a-b²=0②，然后由①②即可求出a，b的值從而求出f（x）．
（2）根據F（x）=xf（x）可求出F（x）的解析式再根據導數的幾何意義可得曲線F（x）在x=1處的切線方程的斜率為F^′（1）然后再根據點斜式寫出切線方程即可．

解答：解：（1）∵f（-1）=0
∴a-b+1=0①
又函數f（x）的值域為[0，+∞）
∴a＞0
∵f（x）=ax²+bx+1=a(x+

b

2a

)2+

4a-b2

4a

∴y≥

4a-b2

4a

∴4a-b²=0②
由①②得：a=1，b=2
∴f（x）=x²+2x+1
（Ⅱ）∵F（x）=xf（x）
∴F^′（x）=3x²+4x+1
∴F^′（1）=8
又∵F（1）=4
∴曲線F（x）在x=1處的切線方程為y-4=8（x-1）即8x-y-4=0

點評：本題主要考查了利用導數的幾何意義研究在某點處的切線方程，屬常考題，較難．解題的關鍵是根據導數的幾何意義得出F^′（1）即為曲線F（x）在x=1處的切線方程的斜率！