Question

（2013•豐臺區一模）已知函數f(x)=

1

x+a

，g（x）=bx²+3x．
（Ⅰ）若曲線h（x）=f（x）-g（x）在點（1，0）處的切線斜率為0，求a，b的值；
（Ⅱ）當a∈[3，+∞），且ab=8時，求函數φ(x)=

g(x)

f(x)

的單調區間，并求函數在區間[-2，-1]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由h（x）在點（1，0）處的切線斜率為0，得

h(1)=0 h′(1)=0.

，由該方程組即可解得a，b值；
（Ⅱ） 由ab=8可把φ（x）表示出含a的函數，求導φ′（x），在定義域內解不等式φ′（x）＞0，φ′（x）＜0即得單調區間；由a∈[3，+∞），得-

3a

4

≤-

9

4

，-

a

6

≤-

1

2

，按照極大值點-

a

6

在區間[-2，-1]的左側、內部、右側三種情況進行討論即可得到答案；

解答：解：（Ⅰ）函數h（x）定義域為{x|x≠-a}，
則h′(x)=f′(x)-g′(x)=-

1

(x+a)2

-2bx-3，
∵h（x）在點（1，0）處的切線斜率為0，
∴

h(1)=0 h′(1)=0.

，即

1 1+a -b-3=0 - 1 (1+a)2 -2b-3=0.

，解得

a=0 b=-2

或

a=- 4 3 b=-6.

；
（Ⅱ）φ（x）=（x+a）（bx²+3x）（x≠-a），
∵ab=8，所以b=

8

a

，∴φ(x)=(x+a)(

8

a

x2+3x)（x≠-a），
∴φ′(x)=

1

a

(24x2+22ax+3a2)=

1

a

(4x+3a)(6x+a)，
令φ'（x）=0，得x=-

3

4

a，或x=-

1

6

a，
∵因為a∈[3，+∞），∴所以-

3

4

a＜-

1

6

a，
∴故當x＜-

3

4

a，或x＞-

1

6

a時，φ'（x）＞0，當-

3

4

a＜x＜-

1

6

a時，φ'（x）＜0，
∴函數φ（x）的單調遞增區間為(-∞，-a)，(-a，-

3

4

a)，(-

1

6

a，+∞)，單調遞減區間為(-

3

4

a，-

1

6

a)，
∵a∈[3，+∞），∴-

3a

4

≤-

9

4

，-

a

6

≤-

1

2

，
①當-

a

6

≤-2，即a≥12時，∵φ（x）在[-2，-1]單調遞增，
∴φ（x）在該區間的最小值為φ(-2)=-

64

a

+44-6a；
②當-2＜-

a

6

＜-1，即6＜a＜12時，
∵φ（x）在[-2，-

a

6

）上單調遞減，在(-

a

6

，-1]上單調遞增，
∴φ（x）在該區間的最小值為φ(-

a

6

)=-

25

108

a2；
③當-

a

6

≥-1時，即3≤a≤6時，∵φ（x）在[-2，-1]單調遞減，
∴φ（x）在該區間的最小值為φ(-1)=-

8

a

+11-3a，
綜上所述，當3≤a≤6時，最小值為-

8

a

+11-3a；當6＜a＜12時，最小值為-

25

108

a2；當a≥12時，最小值為-

64

a

+44-6a．

點評：本題考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、最值等知識，考查分類討論思想、數形結合思想，考查學生分析解決問題的能力，充分體會數形結合思想在（Ⅱ）問中的應用．