Question

（天津卷理20）已知函數，其中.

（Ⅰ）若曲線在點處的切線方程為，求函數的解析式；

（Ⅱ）討論函數的單調性；

Answer 1

本小題主要考查導數的幾何意義、利用導數研究函數的單調性、解不等式等基礎知識，考查運算能力、綜合分析和解決問題的能力．滿分12分．

（Ⅰ）解：，由導數的幾何意義得，于是．

由切點在直線上可得，解得．

所以函數的解析式為．

（Ⅱ）解：．

當時，顯然（）．這時在，上內是增函數．

當時，令，解得．

當變化時，，的變化情況如下表：

	＋	0	－	－	0	＋
	↗	極大值	↘	↘	極小值	↗

所以在，內是增函數，在，內是減函數．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，在上的最大值為與的較大者，對于任意的，不等式在上恒成立，當且僅當，即，對任意的成立．

從而得，所以滿足條件的的取值范圍是．

（Ⅲ）若對于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范圍.