Question

(12分)已知函數，
(1)當時，求的反函數；
(2)求關于的函數當時的最小值；
(3)我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；②在函數的定義域內存在區間使得函數在區間上的值域為.
(Ⅰ)判斷(2)中是否為“和諧函數”？若是，求出的值或關系式；若不是，請說明理由；
(Ⅱ)若關于的函數是“和諧函數”，求實數的取值范圍.

Answer 1

（1）     (或)
（2）

解：(1)
(2)由已知得：
令，則 ，
1)當時，
2)當時，，
(3)(Ⅰ)對(2)中，易知在上為減函數，
1)若時，遞減，若是“和諧函數”，
則與矛盾；
2)若時，恒等.
此時滿足題意，所以這樣的存在；
3)若，則
.
     (或)
(Ⅱ)在上單增，由“和諧函數”的定義知：該函數在定義域內，存在區間，使得該函數在上的值域為，所以， ，為方程的二實根，
即方程在上存在兩個不等的實根，且恒成立，
令，