Question

（本小題滿分13分）設橢圓的右焦點為，直線與軸交于點，若（其中為坐標原點）．

（1）求橢圓的方程；

（2）設是橢圓上的任意一點，為圓的任意一條直徑（、為直徑的兩個端點），求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）橢圓的方程為． （2）的最大值為11．

【解析】(1) 由題設知，，，由，得,從而得到關于a的方程，求出a值.

(2)設圓的圓心為，則 

            ,

從而把的最大值轉化為求的最大值,再利用兩點間的距離公式再借助P在橢圓上，可以把轉化為關于P的橫坐標x的函數問題來解決.

（1）由題設知，，，………………………1分

由，得．………………3分

解得．所以橢圓的方程為．…………………4分

（2）方法1：設圓的圓心為，

則 ……………………6分

            ……K…………………………7分

．………………………………………8分

從而求的最大值轉化為求的最大值．………………………9分

因為是橢圓上的任意一點，設，……………………………10分

所以，即．…………………………11分

因為點，所以．……………12分

因為，所以當時，取得最大值12．……………13分

所以的最大值為11．……………………………14分

 

方法2：設點，

因為的中點坐標為，所以 …………………………6分

所以……………………7分

          

          

           ．……………………………9分

因為點在圓上，所以，即．…………10分

因為點在橢圓上，所以，即．………………11分

所以．……………………………12分

因為，所以當時，．…………………14分

方法3：①若直線的斜率存在，設的方程為，……………6分

由，解得．………………………7分

因為是橢圓上的任一點，設點，

所以，即．…………………8分

所以 ………9分

所以．

                              ………10分

因為，所以當時，取得最大值11．……………11分

②若直線的斜率不存在，此時的方程為，

由，解得或．

不妨設，，．……………………5u…………………12分

因為是橢圓上的任一點，設點，

所以，即．

所以，．

所以．

因為，所以當時，取得最大值11．………13分

綜上可知，的最大值為11．…………………………………14分