Question

（2011•許昌三模）已知四棱錐S-ABCD中，AB=BC=CD=DA=SA=2，底面ABCD是正方形，SD=SB=2

2

．
（I）在該四棱錐中，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；
（Ⅱ）用多少個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁？說明你的結論．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱BB₁的中點為N，棱DD₁的中點為M，求二面角A-MN-C的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據勾股定理的逆定理，證出SA⊥AB且SA⊥AD，結合線面垂直判定定理證出SA⊥平面ABCD，從而得到結論：該四棱錐中存在側棱垂直于底面；
（II）根據正方體的定義與構造，并且作出示意圖，可得正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁由四棱錐A₁-ABCD、四棱錐A₁-B₁BCC₁和四棱錐A-DD₁CC₁組合而成；
（III）由正方體的性質，可得△ANM與△CNM都等腰三角形，由“三線合一”證出AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角，再在△OMN中運用余弦定理即可算出二面角A-MN-C的余弦值．

解答：解：（I）該四棱錐中，存在側棱垂直于底面：SA⊥平面ABCD
∵SA=AB=2，AB=2

2

，
∴SA²+AB²=8=AB²，可得SA⊥AB
同理可得SA⊥AD，
∵AB、AD是平面ABCD內的相交直線
∴SA⊥平面ABCD；
（II）用三個這樣的四棱錐可以拼成一個棱長為2
的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁
它們分別為：四棱錐A₁-ABCD（側棱AA₁⊥平面ABCD），
四棱錐A₁-B₁BCC₁（A₁B₁⊥平面B₁BCC₁），
四棱錐A-DD₁CC₁（A₁D₁⊥平面DD₁CC₁）．它們的圖形如右圖所示；
（III）根據正方體的對稱性，得正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
△ANM與△CNM都等腰三角形，
設O為MN的中點，連結AO、CO、AC，則
∵AO、CO分別是等腰△ANM與△CNM的底邊MN上的中線
∴AO⊥MN且CO⊥MN，可得∠AOC就是二面角A-MN-C的平面角
∵△AOC中，AO=CO=

3

，AC=2

2

∴根據余弦定理，得
cos∠AOC=

AO2+CO2-AC2

2×AO×CO

=

3+3-8

2× 3 × 3

=-

1

3

因此，二面角A-MN-C的余弦值等于-

1

3

．

點評：本題給出特殊四棱錐，求證線面垂直并求二面角的大小，著重考查了直線與平面垂直的判定定理、二面角的定義與求法和正方體的性質等知識，屬于中檔題．