Question

（09年雅禮中學(xué)月考理）（13分）

定義：將一個(gè)數(shù)列中部分項(xiàng)按原來(lái)的先后次序排列所成的一個(gè)新數(shù)列稱為原數(shù)列的一個(gè)子數(shù)列．已知無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為．

   （１）試求無(wú)窮等比子數(shù)列（）各項(xiàng)的和；

   （２）已知數(shù)列的一個(gè)無(wú)窮等比子數(shù)列各項(xiàng)的和為，求這個(gè)子數(shù)列的通項(xiàng)公式；

   （３）證明：在數(shù)列的所有子數(shù)列中，不存在兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們各項(xiàng)的和相等．

Answer 1

解析：（１）依條件得： 則無(wú)窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和為：

．   ……………………………………………………………………3分

（２）解法一：設(shè)子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由條件得：，

則，即 ，  ．

而  ，則 ．

所以，滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，它的首項(xiàng)．公比均為，

其通項(xiàng)公式為，．    ………………………………………………7分

解法二：由條件，可設(shè)此子數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為．

由………… ①

又若，則對(duì)每一，都有………… ②

從①、②得；則；

因而滿足條件的無(wú)窮等比子數(shù)列存在且唯一，此子數(shù)列是首項(xiàng)．公比均為無(wú)窮等比子數(shù)列，通項(xiàng)公式為，．  …………………………………………7分

（３）假設(shè)存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使它們的各項(xiàng)和相等．設(shè)這兩個(gè)

子數(shù)列的首項(xiàng)與公比分別為和，其中且或，則………… ①

若且，則①，矛盾；若且，則①

，矛盾；故必有且，不妨設(shè)，則

．

①………… ②

②

或

，兩個(gè)等式的左,右端的奇偶性均矛盾．

故不存在原數(shù)列的兩個(gè)不同的無(wú)窮等比子數(shù)列，使得它們的各項(xiàng)和相等． ………13分