Question

已知函數f(x)=lnx+a,其中a為大于零的常數.
(1)若函數f(x)在區間[1,+∞)內單調遞增,求實數a的取值范圍.
(2)求證：對于任意的n∈N^*,且n>1時,都有lnn>++…+恒成立.

Answer 1

（1）(0,1]   （2）見解析

(1)f′(x)=(x>0),
由已知,得f′(x)≥0在[1,+∞)上恒成立,即a≤x在[1,+∞)上恒成立,又因為當x∈[1,+∞)時,x≥1,
所以a≤1,即a的取值范圍為(0,1].
(2)由(1)知函數f(x)=lnx+-1在[1,+∞)上為增函數,
當n>1時,因為>1,所以f>f(1),
即lnn-ln(n-1)>,對于n∈N^*,且n>1恒成立,
lnn=[lnn-ln(n-1)]+[ln(n-1)-ln(n-2)]+…+[ln3-ln2]+[ln2-ln 1]>++…++,所以對于n∈N^*,且n>1時,lnn>++…+恒成立.