Question

在平面直角坐標系O中，直線與拋物線相交于、 兩點。

（Ⅰ）求證：“如果直線過點，那么＝”是真命題；

（Ⅱ）寫出（Ⅰ）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由。

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析。

（Ⅱ）（Ⅰ）中命題的逆命題：在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于、兩點。如果 ＝，那么直線必過點。它是假命題，理由見解析。

解析:

（Ⅰ）證明：如果直線軸，則；如果直線與軸不垂直，設直線的方程為，

   。綜上，“如果直線過點，那么＝”是真命題。

（Ⅱ）（Ⅰ）中命題的逆命題：在平面直角坐標系O中，直線與拋物線＝2相交于、兩點。如果 ＝，那么直線必過點。

設直線與軸的交點坐標為，則直線方程為，把它代入得

      。

由，即直線必過點。

∴（Ⅰ）中命題的逆命題是假命題。