Question

（2009•湖北模擬）設函數f（x）=x²+ax+b•2^x（a≠0），若{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ，請你寫出滿足上述條件的一個函數f（x）的例子，如函數f（x）=

f（x）=x²+x（只要0＜a＜4且b=0即可）

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Answer 1

分析：分析函數的結構特點，先由{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，得到x²+ax+b•2^x=（x²+ax+b•2^x）²²+a（x²+ax+b•2^x）+b•2(x2+ax+b•2x)必有實數解，當x=0時，b=b²+ab+b•2^b，b=0滿足條件．然后進行化簡，得到x²+ax=（x²+ax）²+a（x²+ax），當a=1時，（x²+x）²=0，x=0．由此得到滿足上述條件的一個函數f（x）的例子f（x）=x²+x．

解答：解：∵函數f（x）=x²+ax+b•2^x（a≠0），
{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠∅，
∴x²+ax+b•2^x=（x²+ax+b•2^x）²²+a（x²+ax+b•2^x）+b•2(x2+ax+b•2x)必有實數解，
當x=0時，b=b²+ab+b•2^b，
b=0滿足條件．
把b=0代入x²+ax+b•2^x=（x²+ax+b•2^x）²²+a（x²+ax+b•2^x）+b•2(x2+ax+b•2x)，
得x²+ax=（x²+ax）²+a（x²+ax），
當a=1時，（x²+x）²=0，x=0．
綜上所述，當a=1，b=0，f（x）=x²+x時，{x|f（x）=0，x∈R}={x|f（f（x））=0，x∈R}≠φ．
故答案為：f（x）=x²+x．
（答案不唯一，（只要0＜a＜4且b=0即可）．

點評：本題考查函數的解析式的求法和常規解法，解題時要認真審題，仔細解答，注意物特殊值的靈活運用．