Question

已知函數(x∈R)．

(1)求函數的單調區間和極值；

(2)已知函數的圖象與函數的圖象關于直線x＝1對稱，證明當x＞1時，．

 

Answer 1

【答案】

(1) f(x)在(－∞，1)上是增函數，在(1，＋∞)上是減函數．故函數f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝　 (2)見解析

【解析】本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。

（1）根據已知函數求解導數，結合導數的 符號與單調性的關系得到單調區間。

（2）構造函數由題意可知g(x)＝f(2－x)，

得g(x)＝(2－x)e^x－2.

令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe^－x＋(x－2)e^x－2.

于是F′(x)＝(x－1)(e^2x－2－1)e^－x.

當x＞1時，2x－2＞0，從而e^2x－2－1＞0.

又e^－x＞0，

結合單調性得到結論。

解：(1)f′(x)＝(1－x)e^－x.令f′(x)＝0，

解得x＝1.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

所以f(x)在(－∞，1)上是增函數，在(1，＋∞)上是減函數．

故函數f(x)在x＝1處取得極大值f(1)，且f(1)＝.

(2)證明：由題意可知g(x)＝f(2－x)，

得g(x)＝(2－x)e^x－2.

令F(x)＝f(x)－g(x)，即F(x)＝xe^－x＋(x－2)e^x－2.

于是F′(x)＝(x－1)(e^2x－2－1)e^－x.

當x＞1時，2x－2＞0，從而e^2x－2－1＞0.

又e^－x＞0，

所以F′(x)＞0，從而函數F(x)在[1，＋∞)上是增函數．

又F(1)＝e^－1－e^－1＝0，

所以x＞1時，有F(x)＞F(1)＝0，

因此，當x＞1時，f(x)＞g(x)．