Question

．(本小題滿分l 4分)

如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．點E、F分別在邊CD、CB上，點E與點C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF將△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．

(Ⅰ)求證：BD⊥平面POA；

 (Ⅱ)當PB取得最小值時，請解答以下問題：

(i)求四棱錐P-BDEF的體積；

(ii)若點Q滿足=λ (λ >0)，試探究：直線OQ與平面PBD所成角的大小是否一定大于?并說明理由．

 

 

                                     

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）證明：

∵　菱形的對角線互相垂直，

∴，∴，······················ 1分

∵  ，∴．                          

∵　平面⊥平面，平面平面，

且平面，

∴　平面,  ······················· 2分

∵  平面，

∴　.···························· 3分                                       

∵  ，

∴　平面. ························· 4分

（Ⅱ）如圖，以為原點，建立空間直角坐標系.··········· 5分

（ⅰ）設 

因為，所以為等邊三角形，

故，.

又設，則，.

所以，，，

故 ，··················· 6分

所以，

當時，. 此時，··········· 7分

由（Ⅰ）知，平面

所以. ······ 8分

（ⅱ）設點的坐標為，

由（i）知，，則，，，.

所以，，·············· 9分

∵，　

∴．              

∴，

∴．    ···· 10分

設平面的法向量為，則．

∵，，∴　，

取，解得：， 所以. ············· 11分

設直線與平面所成的角，

∴

．········ 12分

又∵∴．······················· 13分

∵，∴．

因此直線與平面所成的角大于，即結論成立． ········· 14分

 

【解析】略