Question

已知函數f(x)=log_a(3-ax).
(1)當x∈[0,2]時,函數f(x)恒有意義,求實數a的取值范圍.
(2)是否存在這樣的實數a,使得函數f(x)在區間[1,2]上為減函數,并且最大值為1?如果存在,試求出a的值;如果不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) (0,1)∪(1,)   (2) 不存在，理由見解析

(1)由題設,3-ax>0對一切x∈[0,2]恒成立,設g(x)=3-ax,∵a>0,且a≠1,∴g(x)=3-ax在[0,2]上為減函數.
從而g(2)=3-2a>0,∴a<.
∴a的取值范圍為(0,1)∪(1,).
(2)假設存在這樣的實數a,
由題設知f(1)=1,
即log_a(3-a)=1,∴a=.
此時f(x)=lo(3-x),
當x=2時,f(x)沒有意義,故這樣的實數a不存在.