Question

設P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的一點，F₁、F₂是焦點，若∠F₁PF₂=60°，則△PF₁F₂的面積為

16 3

3

．

Answer 1

分析：根據橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=10…①，再在△F₁PF₂中用余弦定理，得PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=36…②．由①②聯解，得PF₁•PF₂=

64

3

，最后用根據正弦定理關于面積的公式，可得△PF₁F₂的面積．

解答：解：∵橢圓方程是

x2

25

+

y2

16

=1，
∴a²=25，b²=16．可得a=5，c²=25-16=9，即c=3．
∵P是橢圓

x2

25

+

y2

16

=1上的一點，F₁、F₂是焦點，
∴根據橢圓的定義，得PF₁+PF₂=2a=10…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=6
∴根據余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=36
即PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=36…②
∴①②聯解，得PF₁•PF₂=

64

3

根據正弦定理，得△PF₁F₂的面積為：S=

1

2

PF₁•PF₂sin60°=

16 3

3

故答案為：

16 3

3

點評：本題給出橢圓上一點對兩個焦點的張角為60度，求橢圓兩焦點與該點構成三角形的面積，著重考查了橢圓的簡單性質和正、余弦定理等知識點，屬于中檔題．