Question

已知非零實數a，b，c成等差數列，直線ax+by+c=0與曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共點，則實數m的取值范圍為

[

3 5

5

， +∞)

．

Answer 1

分析：由非零實數a，b，c成等差數列，知直線ax+by+c=0恒過定點（1，-2）．由直線ax+by+c=0與曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共點，知定點（1，-2）在曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)內或在曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)上，由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：∵非零實數a，b，c成等差數列，
∴2b=a+c，
∴直線ax+by+c=0恒過定點（1，-2）．
∵直線ax+by+c=0與曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)恒有公共點，
∴定點（1，-2）在曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)內或在曲線C：  

x2

m2

+

y2

9

=1 (m＞0)上，
∴

1

m2

+

4

9

≤1，(m＞0)，
解得m≥

3 5

5

．
故答案為：[

3 5

5

，+∞)．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意等差數列的性質的應用．