Question

已知雙曲線的一條漸近線方程是y=

3

2

x，焦距為2

7

，則此雙曲線的標準方程為

x2

4

-

y2

3

=1或

y2

3

-

x2

4

=1

．

Answer 1

分析：若雙曲線焦點在x軸上，設它的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）．根據漸近線方程是y=

3

2

x，可得

b

a

=

3

2

，再根據焦距為2

7

，得到c=

a2+b2

=

7

，聯解可得a²和b²的值，從而得到焦點在x軸上雙曲線的標準方程．然后用類似的方法，可得焦點在y軸上雙曲線的標準方程，最后得到滿足題意的雙曲線的標準方程．

解答：解：（1）當雙曲線焦點在x軸上時，
設它的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
∵雙曲線的一條漸近線方程是y=

3

2

x，
∴漸近線方程y=±

b

a

x即y=±

3

2

x，有

b

a

=

3

2

…①
又∵雙曲線的焦距為2

7

∴c=

a2+b2

=

7

…②
聯解①②，得a²=4，b²=3
∴雙曲線方程為

x2

4

-

y2

3

=1
（2）當雙曲線焦點在y軸上時，
設它的標準方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）
采用類似（1）的方法，可得a²=3，b²=4
∴雙曲線方程為

y2

3

-

x2

4

=1
綜上所述，所求雙曲線方程為：

x2

4

-

y2

3

=1或

y2

3

-

x2

4

=1
故答案為：

x2

4

-

y2

3

=1或

y2

3

-

x2

4

=1

點評：本題用待定系數法求雙曲線的標準方程，著重考查了雙曲線的漸近線和焦點等基本概念和雙曲線的簡單性質，屬于基礎題．